Equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell sono un sistema di equazioni fondamentale nello studio dei fenomeni elettromagnetici: governano infatti l'evoluzione spaziale e temporale dei campi elettrico e magnetico. Appaiono per la prima volta al completo in forma differenziale, in "A Treatise on Electricity and Magnetism", pubblicato da James Clerk Maxwell nel 1873.

Table of contents

1 Forma differenziale 2 Correzioni nei materiali 3 Soluzioni delle equazioni 4 Forma relativistica 5 Forma integrale 6 Vedi anche 7 Bibliografia 8 Link esterni

Forma differenziale

Nel caso più generale, in cui i campi dipendano dalle coordinate spaziali e dal tempo, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell è, nel sistema di unità di misura internazionale:

dove ∇· e ∇× sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore, E è il campo elettrico, B il campo magnetico (o di induzione magnetica), ρ la densità di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε₀ e μ₀ sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione , doce c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta

Quando sono espresse in questa forma, nota anche come microscopica le equazioni di Maxwell descrivono l'evoluzione dei campi elettromagetici nel vuoto, una volta assegnate densità di carica e densità di corrente. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.

Correzioni nei materiali

Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi. Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta campo elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di Maxwell in forma macroscopica divengono

dove i nuovi campi D (induzione o spostamento elettrico) e H (campo magnetico) tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:

I vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.

Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le seguenti:

dove le costanti di proporzionalità ε_r e μ_r sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e permeabilità magnetica del mezzo.

Soluzioni delle equazioni

Dato che la divergenza di B è nulla, esiste un A tale che . A è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la II come

che può anche essere espressa come

Consideriamo anche il potenziale elettrico V. Poniamo

da cui

La relazione I diventa

cioè

Sostituendo E e B nella IV, abbiamo

ossia

Ora, in generale, se variamo A e V di quantità arbitrarie i campi E e B non variano, però le relazioni tra loro non sono sempre valide. Ma se pongo

e impongo a V' di essere

allora le relazioni restano valide, basta verificare sostituendole nell'espressione di E ricavata sopra. Visto che A è un potenziale vettore, possiamo scegliere ∇·A a piacere. Scegliendo un opportuno valore per ∇ ·A, ad esempio

e sostituendo in 1 e 2, si ottengono equazioni separate per A e V:

cioè

Similmente nella 2, eliminando i termini opposti, ottengo

Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.

Per A, ad esempio, esplicitando l'operatore ∇, otteniamo

Questo permise di enunciare la teoria che le onde elettromagnetiche e luce fossero aspetti differenti della stessa cosa, in quanto avevano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre, come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.

Forma relativistica

Nota: Per semplicità, consideriamo c = 1

Come abbiamo visto, A e V sono dei quadrivettori. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore J_μ con i termini noti di 1 e 2, otteniamo:

Se vediamo come abbiamo definito ∇·A

questo ci dà la relazione

Ma questa non è altro che la condizione di Lorentz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi, con l'operazione di gauge che abbiamo posto prima, intendevamo dire che il quadrivettore formato dalle componenti di A e V è invariante. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge. Il quadrivettore

è chiamato quadripotenziale.

Se consideriamo l'operatore d'alembertiano

e il fatto che c lo poniamo pari a 1, risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

Le componenti di E e B sono ricavate dalle normali relazioni E = ∇A_μ e B = ∇ × A_μ. Si trova che insieme essi formano un tensore antisimmetrico del secondo ordine F così composto:

Forma integrale

Un'altra forma delle equazioni di Maxwell è quella integrale, che viene di seguito riportata nel caso microscopico ( è la normale alla superficie S):

dove la prima equazione è meglio nota come legge di Gauss, la seconda come legge di Faraday, la quarta come legge di Ampere, mentre la terza è semplicemente l'assenza del monopolo magnetico.

Vedi anche

• Algebra vettoriale
• Divergenza
• Elettromagnetismo
• Forza di Lorentz
• ∇
• Quadrivettore
• Rotore

Bibliografia

• Maxwell, James Clerk, "A Treatise on Electricity and Magnetism", Clarendon Press, Oxford, 1873

Link esterni

• A tensor treatment of Maxwell's equations
• Lecture series: Relativity and electromagnetism

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